Funções de Várias Variáveis

Definição.
Gráfico de Funções de Duas Variáveis.
Curvas de Nível.

Funções de Várias Variáveis

Uma função de duas variáveis independentes, denotada por f(x, y), é uma regra matemática que associa a cada par ordenado (x, y) pertencente a um determinado conjunto D (chamado de domínio da função) um único número real, representado por f(x, y). Essas funções são fundamentais em diversas áreas, como economia, biotecnologia e engenharia de bioprocessos, pois permitem modelar situações que envolvem mais de uma variável de entrada.

Exemplo 1

Seja a função: f(x,y) = ((3x² + 5y))/((x - y))

a. Determine o domínio da função f.

b. Calcule o valor de f(1, –2).

Solução:

a. A função envolve uma fração em que o denominador é x − y. Sabemos que uma divisão por zero não é permitida, portanto a função só está definida para os pares (x, y) em que x ≠ y. Assim, o domínio da função é formado por todos os pontos do plano xy, com exceção da reta y = x.

b. Substituindo os valores: f(1,-2) = (3·(1)² + 5·(-2))/(1 - (-2)) = (3 - 10)/(1 + 2) = -7/3

Exemplo 2

Considere a função: f(x,y) = x·eʸ + ln(x)

a. Encontre o domínio de f.

b. Calcule f(e², ln 2).

Solução:

a. A expressão x·eʸ está definida para todos os números reais x e y. Contudo, a função logarítmica ln(x) só está definida para x > 0. Portanto, o domínio de f é o conjunto de todos os pares (x, y) em que x é estritamente positivo.

b. Calculando: f(e²,ln 2) =e²e^(ln 2)+ln e²=2e²+ 2 = 2(e² + 1) ≈ 16,78

Exemplo 3

A produção de uma fábrica é modelada pela função de Cobb-Douglas: Q(K,L) = 〖60K〗^(1/3) L^(2/3), em que K representa o capital investido (em milhares de reais) e L o número de homens-horas de trabalho.

a. Calcule a produção para um capital de R$ 512.000,00 e 1.000 homens-horas.

b. Mostre que, ao dobrar tanto K quanto L, a produção também dobra.

Solução:

a. Usando K = 512, L = 1.000:Q(512,1.000) = 60·〖(512)〗^(1/3)·〖(1.000)〗^(2/3) = 60·(8)·(100) = 48.000 unidades

b. Dobrando ambos: K = 1.024, L = 2.000Q(1.024,2.000) = 60·〖(1.024)〗^(1/3)·〖(2.000)〗^(2/3) = 60·(16)·(200) = 96.000 unidades

Exemplo 4

Populações que crescem exponencialmente seguem a equação:P(A,k,t) = Aeᵏᵗ, onde A é a população inicial, k é a taxa de crescimento relativa e t é o tempo em anos.Problema: Uma população de 5 milhões de habitantes cresce a uma taxa de 3% ao ano. Qual será a população após 7 anos?

Solução: P(5;0,03;7) = 〖5e〗^(0,03(7))≈6,16839 milhões. Logo, a população será de aproximadamente 6.200.000 habitantes após 7 anos.

Gráficos de Funções de Duas Variáveis

O gráfico de uma função f(x, y) é uma superfície no espaço tridimensional, composta por todos os pontos (x, y, z) tais que z = f(x, y). Para visualizá-lo, utilizamos um sistema de coordenadas em três dimensões.

Figura 1: Superfícies geradas em três dimensões.

Curvas de Nível

Ao cortarmos a superfície z = f(x, y) por planos do tipo z = C, obtemos curvas denominadas curvas de nível. Essas curvas representam os conjuntos de pontos (x, y) no plano em que a função tem valor constante C. Variando C, obtemos diferentes curvas, formando uma família de níveis.

Figura 2: Curva de nível da superfície z = x^2+y^2.