CÁLCULO INTERATIVO
Integrais Duplas
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Integral Dupla em uma Região Retangular.
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Integrais Duplas em Regiões Não Retangulares.
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Limites de Integração para Integrais Duplas.
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Aplicações das Integrais Duplas.
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A Área da Região de um Plano como uma Integral Dupla
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O Volume como uma Integral Dupla.
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O volume de uma região triangular.
Integrais Duplas
Integral Dupla em uma Região Retangular
A integral dupla na região retangular
onde
é dada pelo valor comum das duas integrais repetidas:
ou seja,
Exemplo 1
Calcule a integral dupla
onde r é a região retangular
a. integrando primeiro em relação a x
b. integrando primeiro em relação a y
Solução
a. Integrando primeiro em relação a x:
b. Integrando primeiro em relação a y:
Exemplo 2
Calcule a integral dupla
onde r é a região retangular
Solução
Se calcularmos a integral na ordem
Temos que usar o método de integração por partes para calcular a primeira integral:
Neste caso a segunda integração se torna
Por outro lado, se integrarmos primeiro em relação a y, as duas integrais serão triviais:
Exemplo 3
Seja R a região entre a curva y=x^2 e a reta y=2x. Use desigualdades para descrever R em termos de uma região limitada por retas verticais.
Solução
Começamos com um esboço da curva e da reta, como o da Figura 1 Identificamos a região R e resolvemos o sistema de equações y=x^2 e y=2x para determinar os pontos de interseção. Observe que na região R a variável x assume todos os valores entre x=0 e x=2 e que para cada um desses valores de x a região é limitada abaixo pela curva y=x^2 e acima pela reta y=2x. Assim, a região R pode ser descrita pelas desigualdades
0≤x≤2 e x^2≤y≤2x
Figura 1: Região entre as curvas y=x^2 e y=2x.
Figura 2: Retas horizontais como limites.
Exemplo 4
Descreva a região R limitada pela curva y=x^2 e pela reta y=2x em termos de uma região limitada por retas horizontais.
Solução
Como no Exemplo 3, fazemos um esboço da região e determinamos os pontos de interseção entre a reta e a curva, mas desta vez usamos retas horizontais para limitar a região (Figura 1).
Na região R, a variável y assume todos os valores entre y=0 e y=4. Para cada um desses valores de y, a região é limitada abaixo à esquerda pela reta curva y=x^2 e a reta y=2x e à direita pela curva y=x^2. Como a equação da reta pode ser escrita na forma x=1/2 x e a equação da curva na x=√y, as desigualdades que descrevem a região R usando retas horizontais como limites são
0≤y≤4 e 1/2 y≤x≤√y
Limites de Integração para integrais duplas
Se a região R pode ser descrita pelas desigualdades
e
temos
Se a região R pode ser descrita pelas desigualdades
e
temos
Exemplo 5
Seja a integral dupla
a. Faça um esboço da região de integração e escreva a integral com a ordem de integração invertida.
b. Calcule I usando as duas ordens de integração.
Solução
a. Comparando I com a forma geral para a ordem dx dy, vemos que a região de integração é
R:0≤y≤1, 0≤x≤y
limites externos de integração limites internos de integração
Assim, se y é um número no intervalo 0≤y≤1, para cada valor de y a região R se estende de x=0 à esquerda até x=y à direita. A região R é o triângulo que aparece na Figura 6a. Como se pode ver na Figura 6b, a mesma região R pode ser descrita tomando, para cada valor de x no intervalo 0≤x≤1, um intervalo limitado abaixo por y=x e acima por y=1. Em termos de desigualdades, isto significa que
R:0≤x≤1,x≤y≤1
E, portanto, a integral pode ser escrita na forma
Figura 3: Região de integração para
b. Calculando I utilizando uma das ordens de integração.
Aplicações das Integrais Duplas
Área de uma Região de um Plano
A área de uma região R do plano xy pode ser calculada através de uma integral dupla em R da função constante f(x, y) = 1.
Fórmula da Área: A área de uma região R do plano xy é dada pela expressão
Área de R=
Exemplo 6
Determine a área a região R limitada pelas curvas y=x^2 e y=x^3.
Área de R=
O Volume como uma Integral Dupla
Se f(x,y) é contínua e f(x,y)≥0 na região retangular R, a região tridimensional sob a superfície z=f(x,y) que se estende a toda a região R tem um volume dado por
Exemplo 7
Uma massa de células cobre o fundo triangular de um recipiente de vértices (0, 0), (6, 0) e (3, 3) até uma altura h(x,y)=x/(y+2) em todos os pontos (x,y) da região, onde todas as dimensões estão em centímetros. Qual é o volume total ocupado pelas células?
Solução
O volume é dado pela integral dupla , onde R é a região triangular mostrada na Figura 4.
Figura 4: Região R=0≤y≤3 e y≤x≤6-y.
Observe que, como esta região é limitada pelo eixo x (y=0) e pelas retas x=y e x+y=6, pode ser descrita da seguinte forma:
Região R=0≤y≤3 e y≤x≤6-y
Assim o volume ocupado pelas células e dado por
dividindo 2y+4 por -12y+36
Exemplo 8
Em uma certa fábrica, a produção é dada pela função de produção de Cobb-Douglas
Q(K,L)=50K^(3/5)L^(2/5)
onde K é o investimento em milhares de reais e L é o volume de mão-de-obra em homens-horas. O investimento mensal varia de R$ 10.000,00 a R$ 12.000,00 e o volume de mão-de-obra utilizado em um mês varia entre 2.800 e 3.200 homens-horas. Determine a produção mensal média da fábrica.
Solução
A produção média da fábrica é dada pelo valor médio de Q(K,L) na região retangular R definida pelas desigualdades 10≤K≤12 e 2.800≤L≤3.200. A área da região é dada por
Área de R=(12-10)×(3.200-2.800)=800
E, portanto, a produção média é
