CÁLCULO INTERATIVO
Derivada
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A reta tangente
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Velocidade e aceleração
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A derivada de uma função num ponto
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A derivada de uma função
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Derivadas laterais
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Regras de derivação
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Derivada da Função composta
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Derivada da Função inversa
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Derivada das Funções elementares
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Tabela geral das derivadas
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Derivadas sucessivas
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Derivação implícita
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Diferencial
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Aplicações da derivada
A reta tangente
Suposições para a reta tangente:
-
Definir a inclinação de uma curva y = f(x) para, em seguida, encontrar a equação da reta tangente à curva num ponto dado;
-
y = f(x) é uma curva definida no intervalo (a,b);
-
Seja P(x₁,y₁) e Q(x₂,y₂) dois pontos distintos da curva y = f(x);
-
Seja s a reta secante que passa pelos pontos P e Q;
-
Considerando o triângulo PMQ, tem-se que a inclinação da reta s é : tgα=y₂-y₁/x₂-x₁
-
Suponhamos agora que, mantendo P fixo, Q se mova sobre a curva em direção a P;
-
A inclinação da reta secante s variará: à medida que Q se aproxima de P, a inclinação da secante varia
-
cada vez menos , tendendo para um valor limite constante;
-
Esse valor limite é chamado de inclinação da reta tangente à curva no ponto P , ou também inclinação da curva em P.
Definição
A inclinação da reta tangente à curva no ponto P é dada por:
m ( x₁) = lim ∆y/∆x = lim f ( x₂) - f ( x₁)/ x₂-x₁ , (1)
quando o limite existe.
Fazendo x₂ = x₁+∆x , podemos escrever o limite (1) na forma de:
m (x₁) = lim f (x₁ +∆x )- f ( x₁) / ∆x (2)
Q→P
x₂ →x₁
∆x →0
Conhecendo a inclinação da reta tangente à curva no ponto P , encontra-se a equação da reta tangente à curva no mesmo ponto.
Equação da reta tangente
Se a função f(x) é contínua em x₁, então a reta tangente à curva y=f(x) em P (x₁,f(x₁)) é:
(i) A reta que passa por P tendo inclinação:
m (x₁) = lim f (x₁+∆x )- f (x₁) / ∆x , se esse limite existe. Neste caso, temos a equação:
y - f(x₁)= m(x-x₁). (3)
(ii) A reta x=x₁ , se lim f (x₁ +∆x )- f (x₁) / ∆x for infinito.
∆x →0
∆x →0
Exemplos
(i) Encontre a inclinação da reta tangente à curva y = x² - 2x + 1 no ponto (x₁,y₁).
(ii) Encontre a equação da reta tangente à curva y = 2x² + 3 no ponto cuja abscissa é 2.
Velocidade e aceleração
Velocidade
Supõe-se que um corpo se move em linha reta e que s = s(t) representa o espaço percorrido pelo corpo até o instante t. Então, no intervalo de tempo t e t+∆t o corpo sofre um deslocamento:
∆s = s(t+∆t) - s(t) .
Definimos a velocidade média nesse mesmo intervalo de tempo como:
Vm = s(t+∆t) - s(t)
∆t
Para obtermos a velocidade instantânea do corpo no instante t , calculamos sua velocidade média em instantes de tempo ∆t cada vez menores. A velocidade instantânea é o limite das velocidades médias quando ∆t se aproxima de zero, isto é,
v (t) = lim ∆s = lim s(t+∆t) - s(t)
∆t
∆t→0
∆t
∆t→0
Aceleração
A aceleração média no intervalo de tempo entre t e t+∆t é dada por:
aₘ = v(t+∆t) - v(t)
Para obtermos a aceleração instantânea do corpo no instante t , calculamos sua aceleração média em instantes de tempo ∆t cada vez menores. A aceleração instantânea é o limite das acelerações médias quando ∆t se aproxima de zero, isto é,
a(t) = lim v(t+∆t) - v(t) = v'(t)
∆t
∆t
∆t→0
Exemplos
(i) No instante t = 0 um corpo inicia o movimento em linha reta. Sua posição no instante t é dada por
s(t)= 16t - t² .
Determine:
(a) a velocidade média do corpo no intervalo de tempo [2,4];
R = 10 unidades de velocidade.
(b) a velocidade do corpo no instante t =2;
R = 12 unidades de velocidade.
(c) a aceleração média no intervalo [0,4];
R = -2 unidades de aceleração.
(d) a aceleração no instante t = 4.
R = -2 unidades de aceleração.
(ii) A equação do movimento de um corpo em queda livre é s = ½ g.t² , sendo g um valor constante. Determine a velocidade e a aceleração do corpo em um instante qualquer t.
R=
A velocidade num instante t = g.t m⁄s
A aceleração num instante t = g unid. acel.
Para um melhor entendimento das resoluções do exemplo (i) assista o vídeo abaixo
Derivada de um função num ponto
A derivada de uma função f(x) no ponto x₁ , denotada por f'(x₁) , é definida pelo limite
f'(x₁) = lim f (x₁ +∆x )- f (x₁) , quando esse limite existe.
∆x
∆x →0
Como já vimos anteriormente, esse limite nos dá a inclinação da reta tangente à curva. Portanto, geometricamente, a derivada da função y = f(x) no ponto x₁ representa a inclinação da curva neste ponto.
Derivada de uma função
A derivada de uma função y = f(x) é a função denotada por f'(x), tal que seu valor em qualquer x ∈ D(f ) é dado por:
f'(x) = lim f (x +∆x )- f (x) , quando esse limite existe.
∆x
∆x →0
IMPORTANTE!!
Dizemos que uma função é derivável quando existe a derivada em todos os pontos de seu domínio.
Outras notações podem ser usadas no lugar de y' = f' (x):
(i) Dₓf (x) - leitura: derivada f(x) em relação a x.
(ii) Dₓy - leitura: derivada de y em relação a x.
(iii) dy/dx - leitura: derivada de y em relação a x.
Exemplos
(i) Dada f(x) = 5x² + 6x - 1, encontre f'(2).
(ii) Dada f(x) = x - 2 , encontre f'(x).
(iii) Encontre a equação da reta tangente à curva y = √x , que seja paralela à reta 8x - 4y +1 = 0.
Lembre-se: Duas retas são paralelas quando os seus coeficientes angulares são iguais.
(iv) Encontre a equação para a reta normal à curva y = x² no ponto P(2,4).
Lembre-se: A reta normal a uma curva num ponto dado é a reta perpendicular à reta tangente neste ponto. Duas retas t e n são perpendiculares se: mₜ · mₙ = -1; Onde mₜ e mₙ são as inclinações das retas t e n , respectivamente, num dado ponto P.
(v) Dada f(x) = √x , encontre f'(4).
(vi) Dada f(x) = ∛x , encontre f'(x).
x + 3
Derivadas laterais
Definição 1: se a função y = f(x) está definida em x₁, então a derivada à direita de f em x₁, denotada por f' (x₁) é definida por:
f' (x₁) = lim f (x₁ +∆x )- f (x₁)
= lim f(x)-f (x₁) , caso este limite exista.
Definição 2: se a função y = f(x) está definida em x₁, então a derivada à direita de f em x₁, denotada por f' (x₁) é definida por:
f' (x₁) = lim f (x₁ +∆x )- f (x₁)
= lim f(x)-f (x₁) , caso este limite exista.
+
∆x
+
∆x →0⁺
x - x₁
x→x₁⁺
-
-
∆x
∆x → 0⁻
x - x₁
x→x₁⁻
Uma função é derivável em um ponto, quando: as derivadas à direita e à esquerda nesse ponto existem e são iguais.
Quando as derivadas laterais (esquerda e direita) existem e são diferentes em um ponto, dizemos que este é um ponto anguloso do gráfico da função.
Exemplos
(i) Seja f a função definida por:
f (x) =
3x - 1, se x < 2
7 - x, se x ≥ 2.
{
(a) Mostre que f é contínua em 2.
(b) Encontre as derivadas laterais em x = 2.
(ii) Seja a função f (x) = (x - 2)⋅|x| .Encontre as derivadas laterais quando x = 0.
.
Regras de derivação
Nesta seção aprenderemos regras para derivar funções sem o uso da definição.
1. Derivada de uma constante: se c é uma constante e f (x) = c para todo x, então f' (x) = 0.
Prova: (vídeo)
Exemplos
(i) f (x) = 4 (ii) y = -10
f' (x) = 0 f' (x) = 0
2. Regra da Potência: se n é um número inteiro positivo e f (x) = xⁿ, então f' (x) = n ⋅ xⁿ ⁻¹.
Prova: (vídeo)
Exemplos
(i) Se f (x) = x⁵, então f' (x) = 5x⁴.
(ii) Se g (x) = x, então g' (x) = 1.
(iii) Se h (x) = x⁻³, então h' (x) = -3x⁻⁴.
3. Derivada do produto de uma constante por uma função: sejam f uma função, c uma constante e g a função definida por g (x) = c ⋅f (x). Se f' (x) existe, então g' (x) = c ⋅f' (x).
Prova: (vídeo)
Exemplos
(i) Se f (x) = 8x², então f' (x) = 8(2x) = 16x.
(ii) Se f (x) = -2x⁷, então f' (x) = -2(7x⁶) = -14x⁶.
(iii) Se f (x) = 10x³, então f' (x) = 10(3x²) = 30x².
4. Derivada de uma soma: sejam f e g duas funções e h a função definida por h (x) = f (x) + g (x). Se f' (x) e g' (x) existem, então h' (x) = f' (x) + g' (x).
Prova: (vídeo)
Exemplos
(i) Se f (x) = 3x⁴ + 8x + 5, então f' (x) = 12x³ + 8.
(ii) Se g (y) = 9y⁵ - 4y² + 2y + 7, então g' (x) = 45y⁴ - 8y + 2.
5. Derivada de um produto: sejam f e g funções e h a função definida por h (x) = f (x) ⋅ g (x). Se f' (x) e g' (x) existem, então h' (x) = f (x) ⋅ g' (x) + f' (x) ⋅ g (x).
Prova: (vídeo)
Exemplos
(i) Seja f (x) = (2x³ - 1) ⋅ (x⁴ + x²)
f' (x) = (2x³ - 1) (4x³ + 2x) + (x⁴ + x²) (6x²).
(ii) Seja f (t) = ½ (t² + 5) ⋅ (t⁶ + 4t)
f' (x) = ½[(t² + 5) (6t⁵ + 4) + (t⁶ + 4t) (2t)].
6. Derivada de um quociente: sejam f e g funções e h a função definida por h (x) = f (x) ∕g (x), onde g (x) ≠ 0.
Se f' (x) e g' (x) existem, então h' (x) = g (x) ⋅ f' (x) - f (x) ⋅ g' (x) .
Prova: (vídeo)
Exemplos
(i) Encontre f' (x) sendo f (x) = (2x⁴ - 3) ∕ (x² - 5x + 3)
(ii) Encontre g' (x) sendo g (x) = 1 ∕ x .
g' (x) = -1 ∕ x² .
[g (x)]²
7. Proposição: se f (x) = x⁻ⁿ onde n é um número inteiro positivo e x ≠ 0, então f' (x) = -n · x⁻ⁿ⁻¹ .
Prova: (vídeo)
Exemplos
(i) Se f (x) = 3 ⁄ x⁴ , determine f' (x).
f' (x) = -12 ⁄ x⁵.
(ii) Se f (x) = 4 ⁄ x⁵ + 6 ⁄ x⁷ , determine f' (x).
f' (x) = -20 ⁄ x⁶ - 42 ⁄ x⁸.
Derivada da função composta
1. Regra da cadeia: se y = g(u) e u = f (x) e as derivadas dy/du e du/dx existem, então a função composta
y = g[f (x)] tem derivada que é dada por:
dy = dy du
dx
du
·
dx
ou y''(x) = g' (u) · f' (x) .
Prova: (vídeo)
Exemplos
(i) Dada a função f (x) = (x² + 5x + 2)⁷ , determine dy/dx .
(ii) Dada a função f (x) = 3x + 2 , encontre y' .
2x + 1
(
)
⁵
(iii) Dada a função y = (3x² + 1)³ · (x - x²)² , determine dy/dx .
Derivada da função inversa
Teorema: seja y = f (x) uma função definida em um intervalo (a,b). Suponhamos que f (x) admita uma função inversa x = g (y) contínua. Se f' (x) existe e é diferente de zero para qualquer x ∈ (a,b), então g = f ⁻¹ é derivável e vale:
g' (y) = 1/f'(x) = 1/f' [g (y)] .
Prova: (vídeo)
Exemplos
(i) Seja y = f (x) = 4x - 3, determine g' (y).
(ii) Seja y = 8x³, determine g' (y).
Derivadas das funções elementares
Nesta seção aprenderemos as derivadas das funções elementares, sendo elas: exponencial, logarítmica, trigonométricas, trigonométricas inversas, hiperbólicas e hiperbólicas inversas.
1. Derivada da função exponencial: se y = aˣ , (a>0 e a≠1) então y' = aˣ · ln (a) .
Prova: (vídeo)
Caso particular:
Se y = eˣ , então y' = eˣ · ln e = eˣ , onde e é o número neperiano.
2. Derivada da função logarítmica: se y = logₐ x (a>0 , a≠1) , então: y' = 1/x · logₐ e (a>0 , a≠1).
Prova: (vídeo)
3. Derivada da função exponencial composta: se y = uᵛ , onde u = u(x) e v = v(x) são funções de x, deriváveis
num intervalo I e u(x) > 0, ∀ x ∈ I então y' = v · uᵛ⁻¹ · u' + uᵛ · ln (u) · v'
Prova: (vídeo)
Exemplos
(i) y = 3²⁽ˣ⁾²⁺³ˣ⁻¹ . (3 elevado à 2x²+3x+1) , y' =?
(ii) y = (1/2) , y' = ?
(iii) y = eˣ⁻¹ , y' = ?
(iv) y = eˣ·ˡⁿ⁽ˣ⁾ , y' = ?
(v) y = log₂ (3x² + 7x - 1) , y' = ?
(vi) y = ln (eˣ / x+1) , y' = ?
(vii) y = (x² + 1)²ˣ ⁻ ¹ , y' = ?
√x
ˣ⁺¹
4. Derivada da função seno: se y = sen x, então y’ = cos x.
Prova: (vídeo)
5. Derivada da função cosseno: se y = cos x, então y’ = -sen x.
Prova: (vídeo)
6. Derivada das demais funções trigonométricas: como as demais funções trigonométricas são definidas à partir do seno e do cosseno, podemos usar as regras de derivação para encontrar suas derivadas.
6.1 - Função tangente:
y = tg x = sen x /cos x , então y' = sec² x .
Prova: (vídeo)
6.2 - Função cotangente:
y = cotg x = cos x / sen x , então y' = - cosec² x .
Prova: (vídeo)
6.3 - Função secante:
y = sec x = 1 / cos x , então y' = sec x · tg x .
Prova: (vídeo)
6.4 - Função cossecante:
y = cosec x = 1 / sen x , então y' = - cosec x · cotg x .
Prova: (vídeo)
Exemplos
(i) y = sen (x²) , y' = ? (ii) y = cos (1/x) , y' = ?
(iii) y = 3 tg√x + cotg 3x , y' = ? (iv) y = cos x / (1 + cotg x) , y' = ?
(v) y = sec (x² + 3x + 7) , y' = ? (vi) y = cosec ((x +1) / (x-1)) , y' = ?
7. Derivada das funções trigonométricas inversas:
7.1 - Função arco seno: seja f : [-1,1] → [-π/2,π/2] definida por f (x) = arc sen x . Então y = f (x) é derivável em (-1,1) e y' = 1 / √1-x² .
Prova: (vídeo)
7.2 - Função arco cosseno: seja f : [-1,1] → [0,π] definida por f (x) = arc cos x . Então y = f (x) é derivável em (-1,1) e y' = -1 / √1-x² .
Prova: (vídeo)
—
—
7.3 - Função arco tangente: seja f : ℝ → [-π/2 , π/2] definida por f (x) = arc tg x . Então y = f (x) é derivável em ℝ e y' = 1 / (1+x²) .
Prova: (vídeo)
7.4 - Função arco cotangente: y' = -1 / (1+x²) .
7.5 - Função arco secante: y' = 1 / ( |x| · √x² -1 ) , |x| > 1 .
7.6 - Função arco cossecante: y' = -1 / ( |x| · √x² -1 ) , |x| > 1 .
—
—
Exemplos
(i) y = arc sen (x+1)
(ii) y = arc tg ((1-x²) / (1+x²))
8. Derivada das funções hiperbólicas: como as funções hiperbólicas são definidas em termos da função exponencial, podemos determinar facilmente suas derivadas, usando regras de derivação já estabelecidas.
8.1 - Seno hiperbólico (senh u): y ' = cosh u · u'
8.2 - Cosseno hiperbólico (cosh u): y' = senh u · u'
8.3 - Tangente hiperbólica (tgh u): y' = sech² u · u'
8.4 - Cotangente hiperbólica (cotgh u): y' = -cosech² u · u'
8.5 - Secante hiperbólica (sech u): y' = -sech u · tgh u · u'
8.6 - Cossecante hiperbólica (cosech u): y' = -cosech u · cotgh u · u'
Exemplos
(i) y = sech (x³ + 3) , y' = ?
(ii) y = sech (2x) , y '= ?
(iii) y = ln [tgh (3x)] , y '= ?
(iv) y = cotgh (1-x³) , y '= ?
Tabela Geral das Derivadas
Derivadas sucessivas
Seja f uma função derivável definida num certo intervalo. A sua derivada f’ é também uma função, definida no mesmo intervalo, então também derivável.
Definição: Seja f uma função derivável. Se f’ também for derivável, então a sua derivada é chamada derivada segunda de f e é represen-tada por f’’(x) (lê-se f-duas linhas de x) ou d²f /dx² ( lê-se derivada segunda de f em relação a x).
Se f” é uma função derivável, sua derivada, f”’(x) é chamada derivada terceira de f(x).
A derivada de ordem n ou n-ésima derivada de f, representada por f⁽ⁿ⁾(x), é obtida derivando-se a derivada de ordem n - 1de f.
Exemplos
(i) y =3x²+8x+1, y”= ? (ii) y = tg x , y'' = ?
y' = 6x+8
y'' = 6
(iii) y = √1+x², y”= ? (iv) y = 3x⁵ + 8x², responda até
a derivada sexta.
(v) y = eˣ/² , responda até a derivada sexta. (vi) y = sen x ,responda até a derivada sexta.
—
Derivação implícita
1. Função na forma implícita:
F(x ,y) = c
Exemplo
y⁴ + 3xy + 2ln(y) = 0
2. Derivada de uma função na forma implícita:
F(x,y) = c , aplicar a derivada nos dois membros da igualdade, logo:
dF/dx = dc/dx , quando c = constante.
dF/dx = 0
Exemplos
(i) x² + y² = 4 , y' = ?
(ii) xy² + 2y³ = x - 2y , y' = ?
(iii) x²y² + x sen y = 0 , y' = ?
Diferencial
1. Acréscimos: seja y = f (x) uma função. Podemos sempre considerar uma variação da variável independente x. Se x varia x₁ a x₂, definimos o acréscimo de x, denotado por Δx, como:
Δx = x₂ - x₁ .
A variação de x origina uma correspondente variação de y, denotada por Δy, dada por:
Δy = f (x₂) - f (x₁) ou,
Δy = f (x₁+Δx) - f (x₁)
2. Diferencial: sejam y = f (x) uma função derivável e Δx um acréscimo de x. Definimos:
(a) a diferencial da variável independente x, denotada por dx, como dx = Δx;
(b) a diferencial da variável dependente y, denotada por dy, como dy = f' (x) ∙ dx .
Assim, a notação dy/dx, já usada para f' (x), pode agora ser considerada um quociente entre duas diferenciais.
Exemplos
(i) Se y = 2x² - 6x + 5, calcule o acréscimo Δy para x = 3 e Δx = 0,01.
(ii) Se y = 6x² - 4, calcule Δy e dy para x = 2 e Δx = 0,001.
(iii) Calcule um valor aproximado para ∛65,5 usando diferenciais.
(iv) Obtenha um valor aproximado para o volume de uma fina coroa cilíndrica de altura 12 m, raio interior 7 m e espessura 0,05m. Qual o erro decorrente se resolvermos usando diferenciais?
Aplicações da derivada
1. Máximos e mínimos
x₁, x₂, x₃, x₄ → pontos extremos da função y = f (x).
f (x₁) e f (x₃) → máximos relativos.
f (x₂) e f (x₄) → mínimos relativos.
1.1 - Definição: uma função f tem um máximo relativo em c, se existir um intervalo aberto I, contendo c, tal que f (c) ≥ f (x) para todo x ∈ I ∩ D (f ).
1.2 - Definição: uma função f tem um mínimo relativo em c, se existir um intervalo aberto I, contendo c, tal que f (c) ≤ f (x) para todo x ∈ I ∩ D (f ).
1.3 - Exemplos:
(i) f (x) = 3x⁴ - 12x² tem extremos no intervalo (-2,2) ?
(ii) f (x) = x⁴ - 4x³ - 13x² + 28x + 60 tem extremos no intervalo (-5,6) ?
1.4 - Proposição: suponhamos que f (x) existe para todos os valores de x ∈ (a,b) e que f tem um extremo relativo em c, onde a < c < b. Se f' (c) existe, então f' (c) = 0.
Prova: (importante assistir o vídeo)
1.5 - Exemplos:
(i) f (x) = 3x , há extremos absolutos em [1,3) ?
(ii) f (x) = -x² + 2 , há extremos absolutos em (-3,2) ?
1.6 - Proposição: seja f : [a,b] → ℝ uma função contínua, definida em um intervalo fechado [a,b]. Então f assume máximo e mínimo absoluto em [a,b].
1.7 - Definição: dizemos que f (c) é o máximo absoluto da função f , se c ∈ D(f ), e f (c) ≥ f (x) para todos os valores de x no domínios de f .
1.8 - Definição: dizemos que f (c) é o mínimo absoluto da função f , se c ∈ D(f ), e f (c) ≤ f (x) para todos os valores de x no domínios de f .
1.9 - Exemplos:
(i) f (x) = x² + 6x - 3 , têm extremos no intervalo [-7,1] ?
(ii) f (x) = -x² + 6x - 3 , têm extremos no intervalo [-1,7] ?
2. Funções crescentes e decrescentes
2.1 - Definição: dizemos que uma função f, definida num intervalo I, é crescente neste intervalo se para quaisquer x₁,x₂ ∈ I, x₁ < x₂, temos f (x₁) ≤ f (x₂).
2.2 - Definição: dizemos que uma função f, definida num intervalo I, é decrescente neste intervalo se para quaisquer x₁,x₂ ∈ I, x₁ < x₂, temos f (x₁) ≥ f (x₂).
2.3 - Proposição: seja f uma função contínua no intervalo [a,b] e derivável no intervalo (a,b).
-
Se f' (x) > 0 para todo x ∈ (a,b), então f é crescente em [a,b];
-
Se f' (x) < 0 para todo x ∈ (a,b), então f é decrescente em [a,b].
2.4 - Exemplos: determine os intervalos nos quais as funções seguintes são crescentes ou decrescentes.
(i) f (x) = x³ + 1.
(ii) f (x) = x² - x + 5.
(iii) f (x) =
{
2x² - 4, se x ≤ 1
-x - 1, se x ≥ 1.
3. Critérios para determinar os extremos de uma função
3.1 - Teorema (critério da derivada primeira para determinação de extremos): seja f uma função contínua num intervalo fechado [a,b] que possui derivada em todo o ponto do intervalo (a,b), exceto possivelmente num ponto c.
-
Se f' (x) > 0 para todo x < c e f' (x) < 0 para todo x > c , então f tem um máximo relativo em c ;
-
Se f' (x) < 0 para todo x < c e f' (x) > 0 para todo x > c , então f tem um mínimo relativo em c.
3.2 - Exemplos: encontrar os intervalos de crescimento, decrescimento e os máximos e mínimos relativos da função.
(i) f (x) =
(ii) f (x) = x³ - 7x + 6.
3.3 - Teorema (critério da derivada segunda para determinação de extremos): sejam f uma função derivável num intervalo (a,b) e c um ponto crítico de f neste intervalo, isto é, f'(c) = 0, com a < c < b. Se f admite a derivada f'' em (a,b), temos:
-
Se f''(c) < 0, f tem um valor máximo relativo em c ;
-
Se f''(c) > 0, f tem um valor mínimo relativo em c ;
{
(x - 2)² - 3, se x ≤ 5
1/2(x + 7), se x > 5.
3.4 - Exemplos: encontre os máximos e os mínimos de f aplicando o critério da derivada segunda.
(i) f (x) = 18x + 3x² - 4x³.
(ii) f (x) = x(x - 1)².
4. Concavidade e pontos de inflexão
4.1 - Definição: uma função f é dita côncava para cima no intervalo (a,b), se f' (x) é crescente neste intervalo.
4.2 - Definição: uma função f é dita côncava para baixo no intervalo (a,b), se f' (x) é decrescente neste intervalo.
4.3 - Proposição: seja f uma função contínua no intervalo [a,b] e derivável até segunda ordem no intervalo (a,b).
-
Se f'' (x) > 0 para todo x ∈ (a,b), então f é côncava para cima em (a,b);
-
Se f'' (x) < 0 para todo x ∈ (a,b), então f é côncava para baixo em (a,b).
4.4 - Definição: um ponto P(c,f(c) ) do gráfico de uma função contínua f é chamado de um ponto de inflexão, se existe um intervalo (a,b) contendo c, tal que uma das seguintes situações ocorra:
-
f é côncava para cima em (a,c) e côncava para baixo em (c,b);
-
f é côncava para baixo em (a,c) e côncava para cima em (c,b).
4.5 - Exemplos: determine os pontos de inflexão e reconheça os intervalos onde as funções seguintes tem concavidade voltada para cima ou para baixo.
(i) f (x) = (x - 1)³.
(ii) f (x) = x⁴ - x².
(iii) f (x) =
{
x², para x ≤ 1
1 - (x - 1)², para x > 1.
5. Construção de gráficos
,
Exemplos: esboce os gráficos das funções.
(i) f (x) = 3x⁴ - 8x³ + 6x² + 2.
(ii) f (x) = x²/(x - 3).
(iii) f (x) = (x + 1)⅓.
6. Regras de L'Hospital
6.1- Definição: método geral utilizado para tratar limites que apresentam as indeterminações do tipo 0/0 e
∞/∞.
6.2 - Proposição (regras de l'hospital): sejam f e g funções deriváveis num intervalo aberto I, exceto, possivelmente, em um ponto a ∈ I. Suponhamos que g' (x) ≠ 0 para todo x ≠ a em I.
-
Se lim f (x) = lim g (x) = 0 e lim f' (x)/g' (x) = L, então lim f (x)/g(x) = lim f' (x)/g' (x) = L ;
x → a
x → a
x → a
x → a
x → a
-
Se lim f (x) = lim g (x) = ∞ e lim f' (x)/g' (x) = L, então lim f (x)/g(x) = lim f '(x)/g' (x) = L .
x → a
x → a
x → a
x → a
x → a
6.3 - Exemplos: determine o limite das funções.
(i) lim 2x/(eˣ - 1)
(ii) lim (senx - x)/(eˣ + e⁻ˣ - 2)
(iii) lim (eˣ - 1)/(x³ + 4x)
(iv) lim (x² + x - 6)/(x² - 3x + 2)
(v) lim (3x + 9)¹/ˣ
(vi) lim x ⋅ sen 1/x
(vii) lim 1/(x² + x) - 1/(cos - x)
(viii) lim (2x² + x)ˣ
(ix) lim (1 + 1/2x)ˣ
x → 0
x → 0
x → +∞
x → 2
x → +∞
x → +∞
x → 0
x → 0 ⁺
x → +∞