CÁLCULO INTERATIVO
Definição
Sejam A e B subconjuntos de R. Uma função f: A→B é uma lei ou regra que a cada elemento de A faz corresponder um único elemento de B. O conjunto A é chamado domínio de f e é denotado por D(f). B é chamado de contra-domínio ou campo de valores de f.
Escrevemos:
f: A → B
x →f(x)
Exemplos:
i) Sejam A = {1,2,3,4} e B = {2,3,4,5}, f: A→B dada pelo diagrama abaixo é uma função de A em B.
ii) g: A→B para x→x+1 é uma função de A em B. Pode ser representada g em diagrama.
TESTE DE COMPREENSÃO
Determine o domínio e a imagem das funções abaixo:
i) f(x) = 1/x
ii) f(x) = √(x)
iii) f(x) = −√(x − 1)
v) f(x) = | x |
Respostas:
i) D(f) = R - {x=0}; Im(f)= R − {f(x=0)}
ii) D(f) = R ; Im(f)=R
iii) D(f) = [1, ∞] ; Im(f) = [-∞, 0]
iv) D(f) = R; Im(f) = R
Para acompanhar a resolução destes problemas, acesse o vídeo abaixo:
Toda relação entre dois conjuntos A e B é uma função? Não!
A seguir, são mostrados exemplos de relações que não atendem à definição e, portanto, não são funções.
i) Sejam A = {3,4,5} e B = {1,2} f:A→B dada pelo diagrama abaixo não é uma função de A em B, pois o elemento 4 ∈ A tem dois correspondentes em B.
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Ou seja: cada elemento de A tem mais de um correspondente em B.
ii) g:A→B, x→x−3 não é uma função de A em B, pois o elemento 3 ∈ A não tem correspondente em B.
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Ou seja: nem todo elemento de A tem correspondente em B.
Gráficos
Além do diagrama de setas, outra maneira de representar uma função é por gráfico. Os gráficos são muito importante para estudar o comportamento das leis das funções e, então, para entender os fenômenos que representam.
Sendo assim:
O gráfico de f é o conjunto de todos os pontos (x,f(x)) de um plano coordenado, onde x pertence ao domínio de f.
Pelos exemplos abaixo, observa-se como construir o gráfico de uma função utilizando tabelas.
Exemplos:
i) f(x) = x²
ii) f(x) = x
iii) f(x)= −2 , se x ≤ −2
2 , se −2 < x ≤ 2
4 , se x > 2
Note: caso de domínio partido.
iv) f(x)=| x |
v) f(x)=1/x
vi) Um fabricante da industria farmacêutica determina que, quando x centenas de um medicamento são produzidas, podem ser todas vendidas por um preço unitário dado pela função p = 60 - x reais. Para que nível de produção a receita é máxima? Qual a receita mínima?
x = quantidade vendida em centena, p = preço por unidade de centena vendida, R = receita.
R = x*p = x (60-x) = 60x − x²
Operações
Dadas as funções f e g, sua soma f+g, diferença f-g, produto f.g e o quociente f/g, são definidas por:
i) (f+g)(x)=f(x)+g(x)
ii) (f−g)(x)=f(x)−g(x)
iii) (f.g)(x)=f(x).g(x)
iv) (f/g)(x)=f (x)/g(x)
O domínio das funções f+g, f-g e f.g é a intersecção dos domínios de f e g. O domínio de f/g é intersecção dos domínios f e g, excluindo-se os pontos onde g(x)=0.
Exemplos:
1) Sejam f(x) = √(5 − x) e g(x) = √(x − 3)
i) (f+g)(x)
(f+g)(x) = f(x)+g(x) = √(5 − x) + √(x − 3)
ii) (f−g)(x)
(f−g)(x) = f(x)−g(x) = √(5 − x) − √(x − 3)
iii) (f.g)(x)
(f.g)(x) = f(x).g(x) = √(5 − x) . √(x − 3)
iv) (f/g)(x)
(f/g)(x)= f(x)/g(x) = √(5 − x) − √(x − 3) ∀ x > 3
2) O custo total em reais para fabricar n unidades de um certo produto é dado pela função
c(n) = n³ − 30n² + 500n + 200. Determine:
a) O custo de fabricação de 10 unidades do produto.
c(10) = 10³ − 30(10)² + 500(10) + 200 = 1000 − 3000 + 5000 + 200 =
c(10) = 3200
O custo de fabricação de 10 unidades é 3200 reais.
b) O custo de fabricação da 10a unidade do produto.
O custo da 10a unidade é dado por c(10) − c(9).
c(10) = 3200;
c(9) = 9³ − 30(9)² + 500(9) + 200 = 729 − 2430 + 4500 + 200 = 1541;
c(10) − c(9) = 3200 − 2999 = 201.
O custo da 10a unidade é 201 reais.
Acompanhe a resolução dos exemplos em vídeo:
Tipos de funções
Existem algumas funções com características determinadas e importantes propriedades que são organizadas em tipos.
Função composta
Dada duas funções f e g, a função composta de g com f, denotada por gof, é definida por (gof)(x)=g(f(x)).
O domínio de gof é o conjunto de todos os pontos x no domínio de f tais que f(x) está no domínio de g.
D(gof)={x∈D(f)/f(x)∈D(g)}
Funções pares e ímpares
Uma função f(x) é par se, para todo x no domínio de f, f(−x) = f(x).
Uma função f(x) é ímpar se, para todo x no domínio de f, f(−x) = −f(x).
Observe essa classificação nos exemplos abaixo:
i) f(x) = x²
Como f(−x) = (−x)² = x² = f(x), a função é PAR.
ii) f(x) = x⁵+x³
Como f(−x) = (−x)⁵ + (−x)³ = −(x⁵ + x³) = −f(x), a função é ÍMPAR.
iii) f(x) = x³+x
Como f(−x) = (−x)³ + 4= −(x⁵ + x³) ≠ f(x) ≠ −f(x), a função NÃO É PAR, NEM ÍMPAR.
DICA!
Passe o mouse para aprender.
Para verificar se uma função é par ou ímpar, escreva-a atribuindo a x o valor de (−x).
Se, após reescrevê-la, a lei foi igual à lei original, é par; se for igual à lei original multiplicada por "−1", é ímpar. Se nenhum dos casos for verdadeiro, não é par, nem ímpar.
Função periódica
Dizemos que uma função f(x) é periódica se existe uma número real T ≠ 0 tal que f(x+T) = f(x) para todo x ∈ D(f).
Exemplos:
i) Sen(x) e Cos(x)
Função inversa
Seja y = f(x) uma função de A em B ou f:A→B. Se, para cada y ∈ B, existir exatamente um valor x ∈ A tal que y = f(x), então podemos definir uma função g:B→A tal que x = g(y). A função g definida desta maneira é chamada função inversa de f e denotada por f ⁻¹.
Exemplos:
i) f:R→R definida por y = 2x − 5, qual f ⁻¹?
Tem-se f ⁻¹:R→R; então y+5=2x
x = (y − 5)/ 2
f (x)⁻¹ = (y − 5)/ 2
ii) f:R−{3}→R−{−1} definida por y = (x − 1) / (3 − x), qual f ⁻¹?
Tem-se f ⁻¹:R−{−1}→R−{3}; então y(3 − x) = x − 1
x = (3y − 1) / (1 − y)
f(x) ⁻¹= (3y − 1) / (1 − y)
Pode-se determinar se uma função admite inversa a partir de seu gráfico. Para isso, passa-se uma reta paralela ao eixo dos x: caso corte o gráfico apenas em um ponto, possui inversa; caso corte o gráfico em mais de um ponto, não admite inversa com o domínio completo, mas pode ser possível restringindo seu domínio.
Observe o exemplo abaixo:
f(x) = x²
Ao traçar uma reta paralela ao eixo dos x, toca-se a parábola em dois pontos. Portanto, f(x) não admite inversa.
Porém, ao restringir seu domínio para D =R₊ , a condição é respeitada e possui inversa.
Exemplos:
iii) A função f: [0,+∞)→[0,+∞), definida por f(x) = x² tem como inversa a função g:[0,+∞)→[0,+∞) dada por g(x) = √x .
iv) A função f: R₊→R₊ , definida por f(x) = x³ tem como inversa a função g: R₊→R₊ dada por g(x) = ∛x.
Funções elementares
São aquelas com operações bases, as quais servem de modelo para a descrição de fenômenos e situações reais.
As principais são:
É toda função do tipo f(x) = k, que associa a qualquer número real x um mesmo número real k. D(f) = R e Im(f) = k. Ex.: f(x) = 2
É a função f:R→R definida por f(x)= x. D(f) =R e Im(f)= R. Ex: f(x) = x
É a função f:R→R definida por f(x)=a₀xⁿ+a₁xⁿ⁻¹+...+aₙ₋₁x+aⁿ, onde a₀, a₁, ..., a, a₀ ≠ 0. aₙ são números reais chamados coeficientes de n. n é um inteiro não negativo, determina o grau da função. Ex.: f(x) = 5x⁵ + 6 x + 7 f(x) = x³ As funções polinomiais mais conhecidas são a de 1o grau (afim) e a de 2o grau (quadrática):
É toda função que associa a cada número real x o número real ax+b, a≠0. Os números reais a e b são chamados, respectivamente, de coefciente angular e linear. D(f) = R Im(f) =R. Para: a>0, f(x) é crescente; a<0, f(x) é decrescente. Ex.: f(x) = 2x + 3
É a função f:R→R definida por f(x) = ax²+bx+c, a ≠ 0. D(f)= R. Para: a>0, f(x) é côncava para cima; a<0, f(x) é côncava para baixo. Ex.: f(x) = 2x² + 4x + 1
É definida por f(x) = |x|. D(f) =R e Im(f)= [0,+∞). Ex.: f(x) = | x |
É a função definida como o quociente de duas funções polinomiais, isto é, f(x) = p(x)/q(x) , onde p(x) e q(x) são polinômios e q(x) ≠ 0. D(f)=R−{q(x)=0}. Ex.: f(x) = 1/x
A função de base A que associa a cada x real o número real Aˣ, sendo A um número real, 0 < a ≠ 1. D(f) = R e Im(f) = (0,+∞). Para: a>0, f(x) é crescente; 0<a<1, f(x) é decrescente. Ex.: f(x) = 2ˣ f(x) = 0.5ˣ
É a função de base A de R*₊ em R, que associa a cada x o número logAx, sendo A um número real 0 < A ≠ 1. D(f) = (0,+∞) e Im(f) = R. Para: A>1, f(x) é crescente; 0 < A < 1 f(x), é decrescente. Ex.: f(x) = log₂x f(x) = log₀.₅x
A função que, a cada x∈R, faz corresponder o número real y = sen(x). D(f) = R e Im(f) = [-1,1]. A função seno é periódica; em alguns intervalos é crescente e em outros é decrescente. Ex.: f(x) = sen(x)
A função que, a cada x∈R, faz corresponder o número real y = cos(x). D(f) = R e Im(f) =[-1,1]. A função cosseno também é periódica. Ex.: f(x) = cos(x)
Para estudar as características e os gráficos das demais funções trigonométricas, suas funções inversas e das funções hiperbólicas, acesse o pdf:
Aplicações
Caso 1: Decaimento radioativo
A massa de materiais radioativos, tais como o rádio, o urânio ou o carbono-14, se desintegra com o passar do tempo. Uma maneira usual de expressar a taxa de decaimento da massa é utilizando o conceito de meia-vida desses materiais. A meia vida de um material radioativo é definida como o tempo necessário para que sua massa seja reduzida à metade. Denotando por M₀ a massa inicial (t=0) e por M a massa presente num instante qualquer t. Podemos estimar M pela função exponencial dada por M = M₀e⁻ᴷᵗ (Eq.1) sendo K>0 uma constante.
A Eq.1 é conhecida como modelo de decaimento exponencial. A constante K depende do material radioativo e está relacionada com a meia-vida dele.
Sabendo que a meia-vida do carbono-14 é de aproximadamente 5730 anos, determine:
a) a constante K para o carbono-14;
b) a quantidade de massa presente após dois períodos de meia-vida, se no instante t = 0 a massa era M₀;
c) a idade estimada de um organismo morto, sabendo que a presença do carbono-14 neste é 80% da quantidade original.
Caso 2: Consumo de água
Desde o início do mês, o reservatório de água de uma cidade vem perdendo água a uma taxa constante. No dia 12, o reservatório está com 200 milhões de litros de água; no dia 2, está apenas com 164 milhões de litros.
a) Expresse a quantidade de água no reservatório em função do tempo e desenhe o gráfico associado.
b) Quanta água havia no reservatório no dia 8?
Caso 3: Nutrição
Cada 30g do alimento I contém 3g de carboidratos e 2g de proteínas; cada 30g do alimento II contém 5g de carboidratos e 3g de proteínas. Quando x g do alimento I são misturados com y g do alimento II, o alimento composto contém exatamente 73g de carboidratos e 46g de proteínas.
Explique por que existem 3x + 5y g de carboidratos no alimento composto e por que devemos ter 3x+5y = 73.Escreva uma equação semelhante para o teor de proteínas do alimento composto. Desenhe o gráfico das duas equações.