CÁLCULO INTERATIVO
Derivada
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Derivada Parciais
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Interpretação geométrica das derivadas parciais
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Derivadas parciais de segunda ordem:
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Regra da cadeia para funções de duas variáveis
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Fórmula da aproximação incremental para funções de duas variáveis
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Otimização de funções de 2 variáveis
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Pontos Críticos
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Pontos de sela
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Teste das derivadas parciais de 2º ordem
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O Métodos dos Mínimos Quadrados
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A Reta de Mínimos Quadrados
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Ajustes Não-lineares
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Otimização com Restrições: Método dos Multiplicadores de Lagrange
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Multiplicadores de Lagrange para Funções de Três Variáveis
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Maximização da Utilidade
Derivada Parciais
Definição
Se z = f(x,y), a derivada parcial de f em relação a x é representada por ∂z/∂x ou fₓ = (x,y) e é obtida derivando f em relação a x enquanto y é tratada como constante. A derivada parcial de f em relação a y é representada por ∂z/∂y ou fy = (x,y) e é a função obtida derivando f em relação a y enquanto x é tratada como constante
Exemplos
(i) Calcule as derivadas parciais fₓ e fy de f(x,y) = x² + 2xy² + 2y/3x
Lembrete de Derivada de Cálculo 1
(ii) Calcule as derivadas parciais ∂z/∂x e ∂z/∂y da função z = (x² +xy +y)⁵ + 3 no ponto cuja abscissa é 2.
(iii) Calcule as derivadas parciais de fₓ e fy da função f(x,y)= xe⁻²ˣʸ
Interpretação geométrica das derivadas parciais
Definição
As derivadas parciais de uma função de duas variáveis podem ser interpretadas geometricamente da seguinte forma: para cada número fixo y₀, os pontos (x,y₀,z) formam um plano vertical cuja equação é y=y₀.
Se z = f(x,y) e y é mantido fixo como o valor y=y₀, os pontos correspondentes (x,y₀,f(x,y)) formam uma curva no espaço tridimensional que é a interseção da superfície z = f(x,y) com o plano y=y₀.
Em cada ponto desta curva, a derivada parcial ∂z/∂x é simplesmente a inclinação da reta no plano y=y₀ que é uma tangente à curva no ponto em questão.
Em outras palavras ∂z/∂x é a inclinação da tangente “na direção x”
Analise Marginal
Definição
Em economia, o termo análise marginal se refere à prática de usar uma derivada para estimar a variação do valor de uma função em consequência de uma mudança no valor de uma das variáveis. O exemplo a seguir ilustra o uso de derivadas parciais em problemas do mesmo tipo.
Exemplos
(i) Estima-se que a produção semanal de uma certa fábrica é dada pela função
Q(x,y) = 1200x + 500y + x²y - x³ - y² unidades, onde x é o número de operários especializados e y o número de operários não-especializados utilizados no trabalho. No momento, a mão-de-obra disponível é constituída por 30 operários especializados e 60 não-especializados. Use os métodos de análise marginal para estimar a variação da produção se mais 1 operário especializado for contratado e o número de operários não-especializados permanecer constante.
(ii) Um fabricante estima que a produção mensal de uma certa fábrica é dada pela função de Cobb-Douglas
Q (K,L) = 50K⁰·⁴L⁰·⁶ onde K é o capital imobilizado em milhares de reais e L é o volume de mão-de-obra em homens-horas.
(a) Determine a produtividade marginal do capital. Qₖ, e a produtividade marginal da mão- de-obra, Qₗ, para um capital imobilizado de R$750.000,00 e um volume de mão-de-obra de 991 homens-horas.
(b) O fabricante deve aumentar o capital imobilizado ou o volume de mão-de-obra para aumentar rapidamente a produção?
Derivadas parciais de segunda ordem
Definição
Se z = f(x,y), a derivada parcial de fₓ na relação a x é:
A derivada parcial de fₓ em relação a y é:
A derivada parcial de fy em relação a x é:
A derivada parcial de fy em relação a y é:
fₓy e fyₓ → são chamadas de derivadas parciais mistas
Exemplos
(i) Calcule as quatro derivadas parciais de segunda ordem da função f(x,y) = xy³ + 5xy² + 2x + 1
Solução
Como
fₓ = y³ + 5y² +2
temos
fₓₓ = 0 e fₓy = 3y² + 10y
Como
fy = 3xy² + 10xy
temos
fyy = 6xy + 10x e fyₓ = 3y² + 10y
Regra da cadeia para funções de duas variáveis
Definição
Suponha que z = f(x,y) e que x e y são funções de t, ou seja, x(t) e y(t). Neste caso, z também é função de t é
Exemplos
(i) Uma loja de produtos naturais vende dois tipos de cápsulas vitamínicas, marca A e marca B. As pesquisas de mercado mostram que, se um vidro da marca A for vendido por x reais e um vidro da marca B for vendido por y reais, a demanda da marca A será Q(x,y) = 300 - 20x² + 30y vidro por mês. Estima-se que daqui a r meses o preço de um vidro da marca A será x = 2 + 0,05r reais e o preço de um vidro da marca B será y = 2 + 0,1√t reais. Qual será a taxa de variação com o tempo da demanda da marca A daqui a 4 meses?
Fórmula da aproximação incremental para funções de duas variáveis
Definição
Suponha que z = f(x,y). Se △x é uma pequena variação de x e △y é uma pequena variação de y, a variação correspondente de z é dada por:
Exemplos
(i) Em uma certa fábrica, a produção diária é Q = 60K¹'²L¹'³ unidades, onde K representa o capital imobilizado em milhares de reais e L o volume de mão-de-obra em homens-horas por dia. No momento, o capital imobilizado é de R$ 900.000,00 e estão sendo usados 1.000 homens-horas. Estime a variação da produção resultante de um aumento de R$ 1.000,00 no capital imobilizado e um aumento de 2 no número de homens-horas por dia.
Otimização de funções de 2 variáveis
Definição
Extremos relativos - Dizemos que uma função f(x, y) possui um máximo relativo num ponto p(a, b) do domínio de f se f(a, b) do domínio de f se f(a, b)≥f(x, y) ̶V̶ (x,y) situado no interior de um disco circular com centro num ponto Q, dizemos que f(x, y) possui um mínimo relativo no ponto Q(c, d).
Lembrete de Derivada de Cálculo 1
Exemplos
(i)
Pontos Críticos
Definição
Pontos críticos e extremos relativos: Um ponto (a,b) do domínio de f(x, y) para a qual as derivadas fₓ e fy existem é chamado do ponto crítico de f se fₓ(a,b) = 0 e fy(a,b) = 0
Quando as derivadas parciais de primeira ordem de f existem em todos os pontos de uma região ℝ² do plano xy, os extremos relativos de f em ℝ² só podem ocorrer em pontos críticos
Nem todo ponto crítico é necessariamente ponto máximo ou mínimo relativo. Um ponto crítico que é um máximo relativo numa direção e um mínimo relativo em outra direção é chamado de ponto sela
Teste das derivadas parciais de 2º ordem
Definição
Seja f(x,y) uma função cujas derivadas parciais fₓ, fy, fₓₓ, fyy, fₓy, fyₓ existam, e seja D(x,y) a função: D(x,y) = fₓₓ(x,y), fyy(x,y) - [fₓy(x, y)]²
1° passo: Determinar todos os pontos críticos de f(x,y) tais que fₓ(a,b) = 0 e fy(a.b) = 0
2° passo: Para cada ponto crítico (a,b) determinado no 1° passo, calcule o valor de D(a,b).
3° passo: Se D(a,b)<0, existe um ponto de sela em (a,b).
4° passo: Se D(a,b)>0, calcule fₓₓ(a,b).
Se fₓₓ(a,b) > 0, existe um mínimo relativo em (a,b).
Se fₓₓ(a,b) < 0, existe um máximo relativo em (a,b).
Se D(a,b) = 0, o teste não pode ser aplicado em f. Então f pode possuir um máximo relativo, um mínimo relativo ou um ponto de sela no ponto (a,b).
Exemplos
(i) Determine todos os pontos críticos da função f(x,y) = x² + y² e classifique cada um como um máximo relativo, um mínimo relativo ou um ponto de sela.
(ii) Determine todos os pontos críticos da função f(x,y) = 12x - x³ - 4y² e classifique cada um como um máximo relativo, um mínimo relativo ou um ponto de sela.
(iii) Determine todos os pontos críticos da função f(x,y) = x³ - y³ + 6xy e classifique cada um como um máximo relativo, um mínimo relativo ou um ponto de sela.
(iv) O único supermercado de uma pequena cidade do interior trabalha com duas marcas de suco de laranja: uma marca local que custa no atacado 30 centavos a garrafa e uma marca nacional muito conhecida que custa no atacado 40 centavos a garrafa. O dono do supermercado estima que, se cobrar x centavos por garrafa da marca local e y centavos pela garrafa da marca nacional, venderá 70 - 5x + 4y garrafas da marca local e 80 + 6x - 7y garrafas da marca nacional por dia. Por quanto o dono do supermercado deve vender as duas marcas de suco de laranja para maximizar o lucro?
O Métodos dos Mínimos Quadrados
Definição
Suponha que estejamos interessados em encontrar uma função y = (x) que se ajuste razoavelmente bem a um certo conjunto de dados. O primeiro passo é escolher o tipo de função que vamos usar. Às vezes, isto pode ser feito a partir de uma análise teórica do fenômeno que está sendo estudado; outras vezes, é melhor partir de uma observação dos dados disponíveis. A Figura a seguir mostra dois conjuntos de dados; um gráfico como este é chamado de gráfico de pontos. Na primeira figura, os pontos estão aproximadamente em linha reta, o que sugere o uso de uma função linear da forma y = mx + b. Na segunda figura, porém, os pontos parecem seguir uma curva exponencial, de modo que uma função da forma y = Ae⁻²ˣ seria mais apropriada.
Uma vez escolhido o tipo de função, o passo seguinte é determinar a função em particular,do tipo escolhido, que “melhor se ajusta” ao conjunto de pontos, Uma forma conveniente de medir o grau de ajuste de uma curva a uma série de pontos é calcular a soma dos quadrados das distancias verticais entre os pontos e a curva. Quanto melhor o ajuste da curva, menor o valor da soma; a curva para a qual esta soma é minima é considerada o melhor ajuste aos dados de acordo com o critério dos mínimos quadrados.
A reta de Mínimos Quadrados
Definição
A reta que melhor se ajusta a um conjunto de pontos de acordo com o critério dos mínimos quadrados é chamada de reta de mínimos quadrados (O termo reta de regressão também é usado, especialmente em trabalhos de estatística).
Generalizando o método com exemplo anterior, podemos obter expressões para a inclinação m e o ponto b de interseção com o eixo y da reta de mínimos quadrados para um conjunto de n pontos (x₁, y₁), (x₂, y₂), ..., (xₙ, yₙ).
As expressões envolvem somatórios das coordenadas dos pontos. Todos os somatórios vão de j = 1 a j = n; para simplificar a notação, os índices são omitidos.
Assim, por exemplo, Σx é usado para indicar
A equação da reta de mínimos quadrados para n pontos (x₁, y₁), (x₂, y₂), ..., (xₙ, yₙ) é
y = mx+b , onde
Exemplos
(i) Use o critério dos mínimos quadrados para obter a equação da reta que melhor se ajusta aos pontos (1,1), (2,3) e (4,3)
Ajustes Não-lineares
Nos Exemplos anteriores, o critério dos mínimos quadrados foi usado para ajustar uma função linear a um conjunto de dados. O mesmo método pode ser usado, com modificações apropriadas, para ajustar aos dados de funções não-lineares. Um tipo de método de ajuste modificado é ilustrado no exemplo a seguir
(ii) Um fabricante coleta uma série de dados relativos ao nível de produção x (em centenas de unidades) de um certo produto em função do preço de demanda p (em reais por unidade) pelo qual todas as x unidades serão vendidas
(a) Plote os dados em um gráfico de pontos, com o nível de produção no eixo x e o preço de demanda p no eixo y
(b) Observe que o gráfico de pontos do item (a) sugere que a função de demanda é exponencial. Modifique o método dos mínimos quadrados para determinar a curva da forma p= Aeᵐᶻ que melhor se ajusta aos dados da tabela.
(c) Use a função de demanda exponencial determinada no item (b) para prever a receita que o fabricante deve esperar se produzir 4.000 unidades (x = 40).
Otimização com Restrições: Método dos Multiplicadores de Lagrange
Introdução para otimização com restrição
Definição
Esta técnica só pode ser usada quando é possível explicitar uma das variáveis, o que nem sempre acontece na prática. Nesta seção, vamos discutir uma técnica muito mais versátil, conhecida como método dos multiplicadores de Lagrange, na qual a introdução de uma terceira variável (o multiplicador) permite resolver problemas de otimização com restrições sem explicitar uma das variáveis da equação que expressa a restrição.
Em resumo, é uma técnica introduz uma terceira variável (o multiplicador) que permite resolver problemas de otimização com restrições.
1º passo (formulação): Determinar o maior (ou menor) valor de f(x, y) com a restrição de que g(x, y) = k, supondo que este valor extremo exista.
1º passo
2º passo: Calcular as derivadas parciais fₓ, fᵧ, gₓ e gᵧ, e determinar todos os números x = a, y = b e λ que satisfazem o sistema de equações
Estas são as equações de Lagrange
2º passo
3º passo: Calcular o valor de f em cada ponto (a, b) que satisfaz o sistema de equações do 2º passo.
4º passo (interpretação): Se f(x, y) possui um valor máximo (mínimo) com a restrição de que g(x, y) = k, este será o maior (menor) dos valores obtidos no 3º passo.
3º e 4º passo
Exemplos
(i) O departamento de estradas de rodagem está planejando construir uma área de piquenique para motoristas à beira de uma rodovia movimentada. O terreno deve ser retangular, com uma área de 5.000 metros quadrados, e ser cercado nos três lados que não dão para a rodovia. Qual o menor comprimento da cerca necessária para a obra?
(ii) Determine os valores máximo e mínimo da função f(x,y) = xy com a restrição de que x² + y² = 8.
Multiplicadores de Lagrange para Funções de Três Variáveis
O método dos multiplicadores de Lagrange pode ser estendido a problemas de otimização envolvendo funções de mais duas variáveis e mais de uma restrição. Assim, por exemplo, para otimizar a função f(x.y,z) com restrição de que g(x.y,z) = k, temos que resolver o sistema de equações
Segue um exemplo envolvendo este tipo de otimização com restrições
(iii) Pretende-se construir uma caixa com materiais que custam R$ 1,00 por centímetro quadrado para o fundo. R$ 2,00 por centímetro quadrado para os lados e R$ 5,00 por centímetro quadrado para a tampa. Se o volume deve ser de 96 cm³, quais devem ser as dimensões da caixa para que o custo do material seja mínimo?
Solução:
Seja x a altura da caixa, y a largura e z o comprimento. Nesse caso, o volume da caixa é V=xyz e o custo do material é dado por:
fundo = 1yz
lados = 2( 2xy+2x)
tampa = 5yz
Estamos interessados em minimizar a função C = 6yz + 4xy + 4xz com a restrição de que V = xyz = 96.
As equações de Lagrange são:
e xyz=96. Explicitando λ nas três primeiras equações, temos:
Multiplicando as expressões por xyz, obtemos:
Esse sistema de equações pode ser simplificado cancelando termos comuns nos dois lados de cada equação para obter:
Dividindo ambos os membros da primeira equação por z, ambos os membros da segunda por y e ambos os membros da terceira por x, obtemos:
e portanto y = ⅔x e z = ⅔x. Finalmente, substituímos estas expressões na equação da restrição, xyz=96, para obter:
Assim, o custo é mínimo quando a caixa tem 6 centímetros de comprimento, 4 centímetros de largura e 4 centímetros de altura.
Maximização da Utilidade
A função de utilidade U(x,y) é usada para medir o grau de satisfação ou utilidade para o consumidor de possuir x unidades de um certo produto e y unidades de outro. O Exemplo a seguir ilustra o uso do método dos multiplicadores de Lagrange para determinar quantas unidades de cada produto o consumidor deve comprar para maximizar a utilidade sem exceder uma determinada quantia.
(iv) Um consumidor tem R$ 600,00 para gastar em dois produtos, o primeiro dos quais custa R$ 20,00 e o segundo, R$ 30,00. A utilidade para o consumidor de possuir x unidades do primeiro produto e y unidades do segundo é dada pela função de utilidade de Cobb-Douglas U(x,y) = 10x⁰·⁶y⁰·⁴. Quantas unidades de cada produto o consumidor deve comprar para que a utilidade seja a maior possível?