CÁLCULO INTERATIVO
Limites e continuidade
Noção intuitiva
Primeiramente, analise os seguintes exemplos de sucessões numéricas:
• (1) 1,2,3,4,5, ....
• (2) 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, ....
• (3) 1, 0, -1, -2, -3, ....
• (4) 1, 3/2, 3, 5/4, 5, 7/6, 7, ....
Em (1) os termos se tornam cada vez maiores sem atingir um LIMITE. Dizemos que os termos dessa
sucessão tendem para o infinito ou que o limite da sucessão é infinito. Denota-se: x →∞
Em (2) os termos crescem, mas não ilimitadamente. Os números se aproximam cada vez mais do
valor 1, sem nunca atingir esse valor. Denota-se: x →1
Em (3) os termos decrescem sucessivamente mas sem atingir um LIMITE. Dizemos que: x → -∞
Em (4) os termos da sucessão oscilam sem tender para um LIMITE.
Desse modo, pode-se identificar os limites nos casos a seguir, observando também sua relação com os respectivos gráficos.
Exemplos:
DICA: Explore quantos exemplos forem necessários para bem compreender. Em seguida, avance para "Definição".
i) Seja y= 1 − 1/x;
Esta função tende para 1 quando x tende para o infinito. Basta observar as tabelas e os gráficos.
y→1 quando x →± ∞ , que pode ser denotado por lim (1−1/x) = 1.
ii) Seja y = x² + 3x − 2 ;
x →± ∞
Neste caso, y tende para ∞ quando x tende para ± ∞. Ou seja: lim (x² + 3x − 2) = + ∞.
iii) Seja y = (2x + 1) / (x − 1);
x →± ∞
Observa-se que: y→2 quando x →± ∞, tendo lim (x² + 3x − 2) = + ∞.
Além disso, quando x tende a 1 por valores maiores que 1 (pelos valores à sua direita), representado por x → 1⁺ , y tende a mais infinto; quando x tende a 1 por valores menores que 1 (pelos valores à sua esquerda), dado por x→1⁻, y tende a menos infinito. Esses são chamados de limites laterais, à direita e à esquerda, escritos como:
lim (x² + 3x − 2) = + ∞ e lim(x² + 3x − 2) = −∞.
x →± ∞
x → 1⁺
x → 1⁻
ATENÇÃO: As notações '⁺' e '⁻' não necessariamente significam valores positivos ou negativos. Indicam apenas valores à direita (⁺) ou à esquerda (⁻) de um referencial. Mais será visto na seção "Limites laterais".
iv) Seja y = −1/ (x + 1)²;
Esta função tende para o infinito quando x tende para 1 pela direita e quando x tende para 1 pela esquerda: lim (− 1/(x + 2)²) = − ∞ e lim (− 1/(x + 2)²) = − ∞.
Logo, pode-se afirmar simplesmente que: lim (− 1/(x + 2)²) = − ∞.
v) Seja y = cos(1/x);
x → 1⁻
x → 1
x → 1⁺
O gráfico dessa função oscila numa vizinhança de zero, sem tender para um limite.
Definição de limite
Uma função f(x) tem limite L quando x tende para a, se é possível tornar f(x) arbitrariamente próximo de L, desde que tomemos valores de x, para x ≠ a suficientemente próximo de a.
Seja f(x) definida num intervalo aberto I, contendo a, exceto, possivelmente, no próprio a. Dizemos
que o limite de f(x) quando x aproxima-se de a é L se, para todo ε > 0, existe um δ > 0, tal que |f(x) − L| < ε sempre 0 <|x − a|< δ. Escrevemos como:
lim f(x) = L
Observação: utiliza-se, para a definição, as letras gregas δ (delta) e ε (epsilon) a fim de expressar números extremamente pequenos, mas diferentes de zero.
x→a
Propriedade dos limites
Os limites possuem algumas propriedades associadas a suas operações básicas. É importante conhecê-las para devidamente aplicá-las durante o cálculo dos limites e, assim, facilitar a resolução. São elas:
-
Se a, m e n são números reais, então:
-
lim (mx+n) = ma+n
-
-
Se lim f(x) e lim g(x) existem, e c é um número real qualquer, então:
-
lim [ f(x) ± g(x) ] = lim f(x) + lim g(x)
-
lim cf(x) = c lim f(x)
-
lim [ f(x) . g(x) ] = lim f(x) . lim g(x)
-
lim f(x)/g(x) = lim f(x) / lim g(x) , se lim g(x) ≠ 0.
-
lim [f(x)]ⁿ = [ lim f(x) ]ⁿ
-
lim ⁿ√(f(x)) = ⁿ√( lim f(x)) , se lim f(x) > 0 e n inteiro ou se lim f(x) ≤ 0 e n é um inteiro positivo
-
lim ln[f(x)] = ln[lim f(x)] se lim f(x) > 0
-
lim sen[f(x)] = sen [lim f(x)]
-
lim cos[f(x)] = cos [lim f(x)]
-
lim eᶠ⁽ˣ⁾ = e ˡᶦᵐ ᶠ⁽ˣ⁾
-
-
Se f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) para todo x em um intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente em x = a, e se lim f(x) = L = lim g(x) então:
-
lim h(x) = L
-
x→a
x→a
x→a
x→a
x→a
x→a
x→a
x→a
x→a
x→a
x→a
x→a
x→a
x→a
x→a
x→a
x→a
x→a
x→a
x→a
x→a
x→a
x→a
x→a
x→a
x→a
x→a
x→a
x→a
x→a
x→a
Exemplos:
1) Encontre os limites abaixo utilizando as propriedades:
i) lim (x² + 3x + 5)
lim (x²) + lim (3x + 5) = (lim x)² + 3(2) + 5 = 2² + 6 + 5 = 4 + 11 = 15
ii) lim [(x − 5) / (x³ − 7)]
lim (x − 5) / lim (x³ − 7) = (3 − 5) / (3³ − 7) = (− 2) / (27 − 7) = (− 2) / (20) = − 0,1
iii) lim [√(−4x + 1 + x⁴)]
√lim (−4x + 1 + x⁴) = √[(lim −4x) + (lim 1) + ( lim x⁴)] = √[((−4)(−2)) + (1) + ((−2)⁴)] =
=√ (8 + 1 + 16) = √25 =5
iv) lim [(x² − 1) / (x − 1)]
Como há indeterminação 0/0, usa-se fatoração. Esse caso será explicado a seguir.
lim [ ((x + 1)(x − 1)) / (x − 1) ] = lim (x + 1) = 2
v) lim ( x² sen(1/x) )
Nesse exemplo, tem-se a indeterminação 1/0; será visto que tende ao infinto.
(lim x²) (lim sen(1/x) ) = 0² (sen (lim 1/x) ) = 0 sen(∞) = 0
Acompanhe a resolução dos exemplos em vídeo:
x→2
x→2
x→2
x→2
x→3
x→3
x→3
x→- 2
x→- 2
x→- 2
x→- 2
x→- 2
x→1
x→1
x→0
x→1
x→0
x→0
x→0
Limites laterais
i) Seja f uma função definida em um intervalo aberto (a,c). Dizemos que um número L é o limite à direita da função f quando x tende para a e escrevemos: lim f(x) = L se para todo ε > 0 existe um δ > 0, tal que |f(x) − L| < ε sempre que a < x < a+δ .
Se lim f(x) = L, dizemos que f(x) tende para L quando x tende para a pela direita. Usamos o símbolo x→ a⁺ para indicar que os valores são sempre maiores do que a.
ii) Seja f uma função definida em um intervalo aberto (d,a). Dizemos que um número L é o limite à esquerda da função f quando x tende para a e escrevemos: lim f(x) = L se para todo ε > 0 existe um δ > 0, tal que |f(x) − L| < ε sempre que a − δ < x < a.
Nesse caso, o símbolo x→a⁻ indica que os valores de x considerados são sempre menores do que a.
x→a ⁺
x→a ⁻
Exemplos:
i) Dada a função f(x) = (1 + √( x − 3) ), determinar, se possível, lim f(x) e lim f(x)
lim (1 + √( x − 3) ) = 1 + √( 3 − 3) = 1
lim (1 + √( x − 3) ) = 1 + √( 3 − 3) = 1
Para tal f(x), os limites laterais são iguais. Note que, em ambos casos, tende a 3; a diferença é se tende pela direita ou pela esquerda do número. Essa tendência pode ou não gerar resultados distintos. Observe os casos a seguir.
ii) Seja f(x) =
{−|x| / x se x≠0
{1 se x = 0 ,
determinar, se possível, lim f(x) e lim f(x). Esboce o gráfico.
Ao tender a zero pela direita ou pela esquerda, x se aproxima de 0, mas não é igual a zero. Portanto, considera-se x≠0, utilizando −|x| / x.
lim (−|x| / x) = − 1
lim (−|x| / x) = 1
Os limites laterais são diferentes. Será avaliado o que isso indica a respeito de lim (−|x| / x)
iii) Seja f(x) = |x|. Determinar lim f(x) e lim f(x). Esboçar o gráfico.
lim |x| = 0
lim |x| = 0
Os limites laterais são iguais. Será avaliado o que isso indica a respeito de lim |x|.
Acompanhe a resolução dos exemplos em vídeo:
x→3 ⁺
x→3 ⁻
x→0 ⁺
x→0 ⁻
x→0 ⁺
x→ 0 ⁻
x→0 ⁺
x→0 ⁺
x→ 0 ⁻
x→ 0 ⁻
x→0
x→0
A partir dos limites laterais, define-se a CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA PARA UM LIMITE:
Se f é definida em um intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente no ponto a, então lim f(x) = L se e somente se lim f(x) = L e lim f(x) = L.
Ou seja: um limite em a existe se seus limites laterais pela direita e pela esquerda de a existem e são iguais.
x→a ⁺
x→a ⁻
x→a
x→2 ⁻
x→2 ⁺
x→2 ⁺
x→2 ⁻
x→2 ⁺
x→2
x→2 ⁺
x→2 ⁻
x→2
x→2 ⁻
x→0
x→0 ⁻
x→0 ⁺
x→0
Exemplos:
i) Retome o exemplo (ii) acima e delimite as conclusões sobre o lim f(x) para f(x) =
{|−x| / x ,se x≠0
{1, se x = 0.
Conclusão: Como lim (|−x| / x) ≠ lim (|−x| / x), o lim (|−x| / x) não existe.
ii) Seja f(x) =
{ x² + 1, se x < 2
{ 2, se x = 2
{9 − x², se x> 2,
determinar, se existirem, lim f(x), lim f(x) e lim f(x).
Quando x tende a 2 pela esquerda, x assume valores menores que 2. Logo, x < 2, lim (x² + 1):
lim (x² + 1) = 2² + 1= 5.
Quando x tende a 2 pela direita, x assume valores maiores que 2. Logo, x > 2, lim (9 − x²):
lim (9 − x²) = 9 − 2² = 5.
Conclusão: Como lim f(x) = lim f(x) = 5, lim f(x) existe e é igual a 5.
iii) Seja f(x) =
{ x − 1, se x ≤ 3
{ 3x − 7 , se x > 3,
calcule:
a) lim f(x), lim f(x), lim f(x)
Quando x tende a 3 pela esquerda, x assume valores menores que 3. Logo, x < 3, lim (x − 1):
lim (x − 1) = 3 − 1= 2.
Quando x tende a 3 pela direita, x assume valores maiores que 3. Logo, x > 3, lim (3x − 7):
lim (3x − 7) = 3(3) − 7 = 2.
Conclusão: Como lim f(x) = lim f(x) = 2, lim f(x) existe e é igual a 2.
b) lim f(x), lim f(x), lim f(x)
Quando x tende a 5 pela esquerda e pela direita, x assume valores maiores que 3. Logo, x >3, lim (3x − 7):
lim (3x − 7) = 3(5) − 7 = 8;
lim (3x − 7) = 8.
Conclusão: Como lim f(x) = lim f(x) = 8, lim f(x) existe e é igual a 8.
c) Esboce o gráfico de f(x)
x→3 ⁺
x→3 ⁻
x→3
x→5 ⁺
x→5 ⁻
x→5
x→3
x→3 ⁻
x→3 ⁻
x→3 ⁻
x→3 ⁺
x→3 ⁺
x→3 ⁺
x→5 ⁻
x→5 ⁺
x→5 ⁺
x→5 ⁻
x→5
Cálculo dos limites
∞
Para o cálculo do limite, pode-se realizar a substituição direta do valor a que se tende na lei da função. Todavia, em alguns casos, obtém-se expressões indeterminadas, exigindo diferentes tratamentos.
Expressões indeterminadas
São expressões indeterminadas que frequentemente aparecem: 0/0 ; ∞/∞ ; ∞ − ∞ ; 0 x ∞ ; 0⁰ ; ∞⁰ ; 0 .
Assim, nos casos em lim f(x) = lim g(x) = 0 ou =∞, nada se pode afirmar, a priori, sobre o limite do quociente f/g ou f ᵍ. Dependendo das funções f e g, f/g ou f ᵍ podem assumir valor real ou não existir.
Para descobrir, as expressões devem ser tratadas, recorrendo a determinadas estratégias (ex: fatoração, racionalização, etc), como será visto nos exemplos abaixo. Acompanhe as resoluções para entender.
Exemplos:
i) lim [(x³ − 3x + 2) / (x² − 4)]
Ao substituir −2 no numerador e no denominador, é gerada a indeterminação 0/0. Logo deve-se buscar reescrever a expressão de modo a tratar a indeterminação, o que, neste caso, pode ser feito pela fatoração.
(x³ − 3x + 2) / (x² − 4)] = ((x² − 2x + 1)(x + 2)) / ((x + 2)(x − 2)) = (x² − 2x + 1) / (x − 2)
Desse modo, tem-se uma expressão equivalente, na qual pode-se substituir −2:
lim [(x² − 2x + 1)/ (x − 2)] = (( −2)² − 2( − 2) + 1)/ (( − 2) − 2)] = (4 + 4 +1) / ( −4) = −9/4.
x→0
x→0
ii) lim [(√(x + 2) − √(2)) / x ]
Novamente, deve-se evitar o caso 0/0. Desta vez, recorre-se a racionalização para retirar a indeterminação do denominador.
(√(x + 2) − √(2)) / x = [(√(x + 2) − √(2)) / x] . [(√(x + 2) + √(2)) / (√(x + 2) + √(2))] =
= ((x + 2) − (2)) / (x (√(x + 2) + √(2))) = (x + 2 − 2) / (x (√(x + 2) + √(2))) = (x) / (x (√(x + 2) + √(2))) =
= (x) / (x (√(x + 2) + √(2))) = 1 / (√(x + 2) + √(2))
A partir desta expressão, pode-se calcular o limite:
lim [1 / (√(x + 2) + √(2))] = 1 / (√(0 + 2) + √(2)) = 1 / (√(2) + √(2)) = 1 / (2√(2)).
x→−2
x→−2
iii) lim [(³√(x) − 1) / (√(x) − 1)]
Nesse caso de 0/0, deve-se fazer uma substituição de variável. Define-se que: x = t⁶, de modo que quando x tende a 1, t também tende a 1. Reescrevendo:
(³√(t⁶) − 1) / (√(t⁶) − 1) = (t² − 1) / (t³ − 1) = ((t − 1)(t + 1)) / (t³ − 1)
Dividindo o numerador e o denominador por (t − 1):
= (t + 1) / ( t² + t + 1)
Logo, foi eliminada a indeterminação e é possível calcular o limite:
lim [(t + 1) / ( t² + t + 1)] = (1 + 1) / (1² + 1 + 1) = 2/3.
x→1
x→1
iv) lim [ ((x + h)² − x²) / h ]
Ao substituir h, tem-se 0 no denominador. Logo, expande-se o numerador visando eliminar o h.
((x + h)² − x²) / h = (x² + 2xh + h² − x²) / h = (2xh + h²) / h = ((h)(2x +h)) / h = (2x +h)
Assim, calcula-se:
lim (2x + h) = 2x + 0 = 2x.
h→ 0
h→ 0
Observa-se que cada caso apresenta uma estratégia mais efetiva para a resolução do limite. Com a prática, torna-se intuitivo identificar as possíveis melhores formas.
A seguir, serão verificados outros limites importantes, que auxiliam no tratamento de indeterminações.
x→+∞
x→−∞
x→+∞
Limites no infinito
i) Seja f uma função definida em um intervalo aberto (a,+∞). Escrevemos, lim f(x) = L quando o número L satisfaz à seguintes condição: para qualquer ℇ > 0, existe a > 0 tal que | f(x) - L | < ℇ sempre que x > a.
ii) Seja f definida em (−∞,b). Escrevemos, lim f(x) = L, se L satisfaz à seguintes condição: para qualquer ℇ > 0, existe b > 0 tal que |f(x) - L| < ℇ sempre que x < b.
Se n é um número inteiro positivo, então:
i) lim 1 / xⁿ = 0 ii) lim 1 / xⁿ = 0
x→−∞
x→−∞
x→+∞
x→+∞
x→−∞
Exemplos:
i) lim [(2x − 5) / (x + 8)]
Para solucionar a indeterminação ∞/∞, reescreve-se a expressão explicitando o x de maior grau (neste caso, x¹), passando a aparecer no denominador. Aplicam-se as propriedades e os teoremas:
(2x − 5) / (x + 8) = ((x)(2 − 5/x)) / ((x)(1 + 8/x)) = (2 − 5/x) / (1 + 8/x)
lim [(2 − 5/x) / (1 + 8/x)] = lim [(2 − 5/x)] / lim [(1 + 8/x)] = (lim [2] − lim [5/x]) / (lim [1] + lim [8/x]) =
= (lim [2] − 5 lim [1/x]) / (lim [1] + 8 lim [1/x])
Tendo lim 1/x = 0:
= (lim [2] − 5 lim [1/x]) / (lim [1] + 8 lim [1/x]) = (2 − 5 (0)) / (1 + 8 (0)) = (2 − 0) / (1 + 0) = 2.
ii) lim [ (2x³ − 3x + 5) / (4x⁵ − 2)
Resposta: 0
iii) lim [(2x + 5) / (√(2x² − 5))]
Resposta: 2 / √2
iv) lim [(2x + 5) / (√(2x² − 5))]
Resposta: − 2 / √2
Acompanhe o assunto e os exemplos abordados em vídeo:
Limites infinitos
i) Seja f(x) uma função definida em um intervalo aberto contendo a, exceto, possivelmente, em x = a. Dizemos que lim f(x) = +∞, se para qualquer A > 0, existe um δ > 0 tal que f(x) > A sempre que 0 < |x−a| < δ.
ii) Seja f(x) definida em um intervalo aberto contendo a, exceto, possivelmente, em x = a. Dizemos que lim f(x) = −∞, se para qualquer B < 0, existe um δ> 0 tal que f(x) < B sempre que 0 < |x−a| < δ.
Se n é um número inteiro positivo, então:
i) lim 1 / xⁿ =+∞ ii) lim 1 / xⁿ = +∞, se n é par
−∞, se n é ímpar
x→0 ⁺
x→0 ⁻
x→a
x→a
x→0
Exemplos:
i) lim (x³ + √(x) + 1/x²)
Como não é possível calcular 1/0 e não há como eliminar o x no denominador, recorre-se ao limite infinto:
lim (x³) + lim (√(x)) + lim (1/x²) = 0³ + √(0) + ∞ = ∞.
ii) lim (|x| / x²) , lim (|x| / x²) e lim (|x| / x²)
Novamente, serão usados limites infinitos, visto que não há como eliminar a indeterminação 0/0. Agora, ao avaliar os limites à direita e à esquerda de zero, deve-se atentar ao sinal dentro do módulo.
À direita de zero, todos os valores próximos a zero, mas não iguais a ele, são positivos:
lim (|x| / x²) = lim (|(+x)| / x²) = lim (+1 / x)
Como x tende a 0⁺ e xⁿ⁼¹:
lim (+1 / x) = +∞.
À esquerda de zero, todos os valores próximos a zero, mas não iguais a ele, são negativos:
lim (|x| / x²) = lim (|(−x)| / x²) = lim (−1 / x) = − lim (1 / x)
Como x tende a 0⁻ e xⁿ⁼¹, sendo 1 ímpar:
− lim (1 / x) = (−1)(−∞) = +∞.
Sendo os limites laterais iguais, conclui-se que:
lim (|x| / x²) = +∞.
Observação: este exemplo (ii) não possui resolução em vídeo.
x→0⁺
iii) lim (3x⁵ − 4x³ + 1)
Ao substituir, encontra-se a indeterminação ∞ − ∞. Então, deve-se isolar a variável x de maior grau:
(x⁵)(3 − 4/x + 1/x⁵)
lim [(x⁵)(3 − 4/x + 1/x⁵)] = lim(x⁵) . lim(3 − 4/x + 1/x⁵) = (∞)(3 − 0 + 0) = +∞.
x→∞
x→0⁻
x→0
iv) lim [(5x + 2) / |x + 1|]
Resposta: −∞
x→−1
v) lim [(x² + 3x + 1) / (x² + x − 6)]
Resposta: ±∞
x→2
Acompanhe o assunto, os exemplos abordados e outros exemplos em vídeo:
Conheça mais com a tabela de propriedades de limites infinitos:
Note: limites no infinitos são aqueles cuja incógnita tende a mais ou menos infinito. Limites infinitos, por sua vez, são aqueles iguais a mais ou menos infinito.
Assíntotas
Em aplicações práticas, encontramos com muita frequência gráficos que se aproximam de uma reta à medida que x cresce ou decresce, sem nunca encostá-la, como nos gráficos do vídeo abaixo.
Essas retas são chamadas assíntotas, e podem ser verticais, horizontais ou inclinadas.
Assíntota vertical
A reta x = a é uma assíntota vertical do gráfico y = f(x), se pelo menos uma das seguintes afirmações for verdadeira:
i) lim f(x) = + ∞
ii) lim f(x) = + ∞
iii) lim f(x) = − ∞
iv) lim f(x) = − ∞
Exemplo:
A reta x = 2 é uma assíntota vertical do gráfico de y = 1/(x−2)², visto que lim [1/(x−2)²] = + ∞ e lim [1/(x−2)²] = + ∞.
x→a ⁺
x→a ⁺
x→a ⁻
x→a ⁻
x→2 ⁺
x→2 ⁻
Assíntota horizontal
A reta y = b é uma assíntota horizontal do gráfico y = f(x), se pelo menos uma das seguintes afirmações for verdadeira:
i) lim f(x) = b
ii) lim f(x) = b
Exemplo:
A reta y =1 e y = −1 são assíntotas horizontais do gráfico de y = x / (√(x²+2)), pois lim [ x / (√(x²+2))] = 1 e lim [ x / (√(x²+2))] = −1.
x→+∞
x→−∞
x→−∞
x→+∞
x→±∞
Assíntota diagonal
A reta y = ax+b é uma assíntota inclinada do gráfico y = f(x), se pelo menos uma das seguintes
afirmações for verdadeira:
i) lim [f(x) − ax+b] = 0
ii) lim [f(x) − ax+b] = 0
Exemplo:
A reta y=2x é assíntota inclinada do gráfico de y = (2x³) / (x² + 4), tendo que lim [((2x³) / (x² + 4))−2x] = 0.
x→−∞
x→−∞
Observação: Uma mesma função pode apresentar diferentes assíntotas simultaneamente, do mesmo tipo ou não. Logo, todas as condições devem ser testadas- quando verdadeiras, reconhecem-se assíntotas. Elas podem ser indicadas por sua expressão ou representadas no gráfico, sendo um elemento importante para plotar o gráfico de uma função.
Exemplo:
Identifique todas as assíntotas da função y = √(1+ 64x²) / (2x − 4)
Limites fundamentais
Os limites fundamentais tratam de casos particulares de indeterminação: 0/0 , 1 e ∞⁰.
O uso deles facilita a resolução desses casos.
∞
1° limite fundamental
-
lim [sen(x) / x ] = 1
x→0
Demonstração 1
2° limite fundamental
-
lim [ (1 + (1/x) )ˣ ] = e
x→0
Casos associados
3° limite fundamental
-
lim [( aˣ − 1) / x] = ln a
x→0
Demonstração 3
Exemplo
Exemplo
Continuidade
Uma função f(x) é contínua no ponto a se todas as seguintes condições forem satisfeitas:
i) f é definida no ponto a;
ii) lim f(x) existe;
iii) lim f(a) = f(a).
Uma função é contínua em todo seu domínio quando estes itens são verdadeiros para todos os pontos pertencentes ao domínio da função.
Quando uma dessas condições não é atendida para um ponto a, a função é dita descontínua neste valor. A descontinuidade pode ser pontual, de salto ou infinita/assintótica, como observa-se nos gráficos abaixo.
* resoluçao dos exemplos a partir limites laterais de até assíntotas.
x→a
x→a
Exemplos:
Verifique se as funções abaixo são contínuas nos pontos indicados.
i) Sejam f(x) = (x² − 1) / (x − 1) e
g(x) = (x² − 1) / (x − 1), quando x ≠ 1
= 1, quando x = 1.
Essas funções são contínuas x = 1?
iii) Seja f(x) = |x| / x , quando x ≠ 0
= 0, quando x = 0.
Essa função é contínua em x = 0?
ii) Sejam f(x) = 1 / (x − 1)² e
g(x) = 1 / (x − 2)², quando x ≠ 2 = 3, quando x = 2.
Essas funções são contínuas em x = 2?
iv) Seja f(x) = x + 3 , quando x ≥ 1
= − x + 1, quando x < 1.
Essa função é contínua em x = 1?